בצהרי היום הארוך בשנה, בעיר סינה שבדרום מצרים, קורה דבר מוזר: שמש עומדת בדיוק מעל הראש, קרן יורדת לתחתית באר עמוקה - ואין צל בשום מקום. לא על שפת הבאר, לא על הקירות, לא על המים. כאילו הצל בוטל ליום אחד.
הסיפור הזה הגיע לאלכסנדריה מפי נוסעים שחזרו מהדרום לאורך הנילוס וסיפרו שראו במו עיניהם באר שבולעת את הצל שלה פעם בשנה. בעיר שחיה על שמועות ומגילות, סיפור כזה היה יכול להתפוגג עד הערב. ואיש אחד הקשיב לו אחרת מכולם.1
הבאר
למה באר, ולא סתם חצר? כי באר עמוקה היא מכשיר מדידה קפדן: פיר צר וארוך מאפשר לקרן להגיע לתחתית רק כשהשמש כמעט בדיוק מעל הפתח. כל השנה הקירות מטילים צל פנימה. רק בצהרי היום הארוך האור יורד ישר, כמו חוט אנך של אור, ומדליק את המים למטה - והבאר כולה נדלקת מבפנים ליום אחד. סינה היא אסואן של היום: עיר דרומית על הנילוס, בקצה גבול מצרים, כמעט על הקו שבו זה קורה.1
האיש
קראו לו ארטוסתנס, איש קירנה שעל חוף לוב, שהמלך תלמי השלישי הפקיד בידיו את הספרייה הגדולה באלכסנדריה - אוסף המגילות הגדול בעולם, סביבות 240 לפני הספירה. ספרן ראשי באלכסנדריה לא היה פקיד ארכיון: העיר הייתה בירת מצרים התלמית, והספרייה - פרויקט הדגל שלה, שנועד לאסוף את כל הספרים שנכתבו. כל מגילה שהגיעה לנמל עברה תחת ידיו. הוא לא היה מגלה ארצות. הוא לא הפליג, לא טיפס, לא חצה מדבר. הוא קרא, חישב, ושאל שאלות. ומול השמועה על הבאר הוא לא ארז תרמיל וירד דרומה - הוא נשאר בספרייה, ועשה חשבון.2
והשאלה שהבאר שתלה בו לא עזבה אותו: אם שם, בדרום, אין צל - מה יש כאן, אצלו?
השאלה
כל הסיפור תלוי בתרגיל אחד פשוט. השמש רחוקה כל כך שקרניה מגיעות אלינו כמעט מקבילות, כמו גשם שיורד ישר. אם כדור הארץ היה שטוח, שני מקלות בשתי ערים היו מטילים בדיוק אותו צל באותה שעה.
אבל אם הארץ עגולה - כל עיר נוטה בזווית אחרת מול השמש. ההפרש בין שני הצללים הוא העקמומיות של כדור הארץ עצמה, ושני מקלות מודדים אותה. ומי שיודע שני דברים - את המרחק בין שתי הערים ואת גודל ההפרש - יודע את היקף העולם כולו. הרעיון שהארץ כדורית כבר היה קיים אז - אריסטו טען זאת לפניו. החידוש של ארטוסתנס לא היה הצורה, אלא הגודל: איש לא הפך אותה למספר קודם.
זה הרגע שבו סיפור הנוסעים הפך למדידה. שני מקלות, שתי ערים, שעה אחת - זה כל המעבדה.
מקל הצל
ביום הארוך בשנה, בצהריים בדיוק, תקע ארטוסתנס מקל באדמת אלכסנדריה ומדד את הצל שלו. זו השעה שבה הצל קצר ביותר, והתאריך היחיד שבו ההשוואה לסינה תקפה. הזווית יצאה כ-7.2 מעלות מהאנך - כצעד של מחוג הדקות, אבל קבועה, ואפשר למדוד אותה. המקל עמד ישר, והצל נמתח הצידה על האדמה כמו אצבע שמורה צפונה. ובמעגל שלם יש 360 מעלות, כלומר בדיוק אחד חלקי חמישים. המרחק בין אלכסנדריה לסינה הוא, אם כך, אחד חלקי חמישים מהיקף כדור הארץ.3
מקל אחד בחצר, ומסקנה על גודל העולם.
המרחק
נשאר מספר אחד: המרחק בין שתי הערים. וכאן הסיפור שכולם מכירים טועה. ארטוסתנס לא שכר צועדים ולא שלח מודדים - המרחק, כ-5,000 יחידות (סטדיות, הקילומטר של היוונים) - בערכים של היום כ-800 קילומטר - היה נתון מצרי קיים. הנילוס הציף כל שנה ומחק גבולות בין חלקות, ולכן אדמות מצרים נמדדו מחדש שנה אחר שנה - בידי מודדים שצעדו צעדים שווים וספרו אותם, ובחבלים עם קשרים למרחקים קצרים. הנילוס זורם מסינה לאלכסנדריה בקו כמעט ישר מדרום לצפון, ולכן המרחק בין שתי הערים הגדולות שעליו היה ידוע הרבה לפני שארטוסתנס נולד: שתי ערים על אותו נהר, והמרחק ביניהן רשום בספרים. ומספר עגול כמו 5,000 מעיד על מסורת מקובלת, לא על מדידת שטח טרייה.4
האמת מעניינת יותר מהאגדה: הוא לא מדד את הדרך. הוא לקח מספר מניירת ממשלתית - והפך אותו למפתח של העולם.
הכפלה
ועכשיו כל החישוב, בשורה אחת: 50 כפול 5,000 = 250,000 יחידות. זה היקף כדור הארץ. שום מסע, שום מכשיר, שום משלחת במימון מלכותי - רק מקל, מספר מהספרים, וכפל. אותו חישוב נותן גם את הרדיוס: כ-6,366 קילומטר עד מרכז כדור הארץ - מול כ-6,371 שמודדים היום.5
הדיוק והספק
אבל יש חור אחד בסיפור: אף אחד לא יודע כמה ארוכה הייתה יחידת המרחק שלו. אם זו הגרסה הארוכה, כ-185 מטר ליחידה, התוצאה יוצאת כ-46,250 קילומטר - כ-15 אחוז מעל הערך האמיתי. אם זו הגרסה המצרית, כ-157.5 מטר, השגיאה קטנה מאחוז אחד - דיוק מסחרר למקל וצל. היום מודדים כ-40,075 קילומטר בקו המשווה.6
ויש עוד סיבוך: מקורות עתיקים אחרים נותנים 252,000 ולא 250,000 - כנראה מהעתקות מאוחרות שכל דור עיגל בהן קצת אחרת. חוקרים משערים שהמספר העגול 250,000 עצמו הוא עיגול מאוחר של תוצאה מקורית אחרת, והוויכוח על אורך היחידה לא הוכרע עד היום - וכנראה לעולם לא יוכרע, כי המידה המקורית לא שרדה. אין מספר קסם אחד. יש טווח, והדיוק תלוי במה שמניחים. וכאן מגיעה גם הערת היושר על הבאר עצמה: בסיפור של קלאומדס היא לא מופיעה - הבאר היא הקישוט הספרותי, והליבה המדעית אמיתית. הספק הזה לא מחליש את הסיפור - הוא מה שהופך אותו מסיפור עם לסיפור אמיתי.
הטעויות שביטלו זו את זו
שלוש ההנחות שלו היו שגויות במידה מסוימת: סינה לא יושבת בדיוק על הקו שבו השמש מעל הראש ביום הארוך - היא כמעלה אחת צפונה ממנו; אלכסנדריה לא נמצאת בדיוק מצפון לה אלא כשלוש מעלות מערבה ממנה; וקרני השמש לא מקבילות לחלוטין - השמש אמנם לא באינסוף, אבל רחוקה מספיק שהסטייה זניחה.7
ובכל זאת התוצאה עובדת - כי השגיאות ביטלו זו את זו. השיטה חזקה מהנתונים. הלקח: שיטה טובה מנצחת גם נתונים לא מושלמים.
הספר שאבד
וכאן התפנית העצובה: הספר של ארטוסתנס עצמו, “על מדידת הארץ”, אבד. כל מה שאנחנו יודעים על השיטה מגיע מקלאומדס, אסטרונום שכתב במאה הראשונה לספירה - כשלוש מאות שנה אחרי המדידה - בספרו “על תנועות הסיבוב של גופים שמימיים”. הוא לא היה עד, הוא היה מספר. וגם אחרים - הרון, גלנוס - מזכירים את הספר ומצטטים ממנו, בלי שאיש מהם החזיק אותו ביד. ההישג הגדול שרד רק כציטוט אצל מישהו אחר - בדיוק כמו השמועה על הבאר, שהגיעה לאלכסנדריה מפי נוסעים.8
הידע כמעט נעלם. הוא ניצל במקרה, כהערת שוליים בהיסטוריה של מישהו אחר.
אותו צל
כ-1,700 שנה לפני שהמשלחת של מגלן הקיפה את הגלובוס - מסע של שלוש שנים, שממנו חזרה ספינה אחת מתוך חמש - ספרן שלא יצא ממצרים חישב את גודלו ממקל וצל. ועד היום ילדי בית ספר ברחבי העולם תוקעים מקלות באדמה, מודדים צללים, מכפילים - ומגיעים לאותה תשובה. אותו צל, אותה שאלה, אותו תרגיל. שום מעבדה, שום לוויין, שום תקציב. רק שמש, מקל, ומי שמוכן לחשוב.9
באר אחת בדרום. מקל אחד בצפון. וביניהם העולם כולו - שנמדד כולו בלי לצאת ממצרים.
הערות שוליים
- סיפור הבאר בסינה (אסואן של היום): בצהרי יום ההיפוך השמש כמעט בדיוק מעל הראש, וקרניה מגיעות לתחתית הבאר. ארטוסתנס שמע על כך מנוסעים; אין עדות שביקר שם בעצמו. ↩
- ארטוסתנס מקירנה (276 לערך עד 194 לערך לפני הספירה), מונה לספרן הראשי בידי תלמי השלישי; המדידה מתוארכת לסביבות 240 לפני הספירה. ↩
- המדידה לפי קלאומדס: זווית הצל באלכסנדריה כ-7.2 מעלות, שהן 1/50 ממעגל שלם. ↩
- המרחק, כ-5,000 יחידות, היה נתון מצרי קיים ממדידות הנילוס השנתיות; המספר העגול מעיד על מסורת מקובלת, וספק אם ארטוסתנס מדד בעצמו. ↩
- 50 כפול 5,000 = 250,000 יחידות - היקף כדור הארץ לפי החישוב; הרדיוס הנגזר כ-6,366 ק“מ, מול כ-6,371 מודרני. ↩
- אורך היחידה אינו ודאי: לפי 185 מטר מתקבל כ-46,250 ק”מ (כ-15% מעל האמת), לפי 157.5 מטר השגיאה קטנה מאחוז אחד; הערך המודרני כ-40,075 ק“מ בקו המשווה; מקורות אחרים נותנים 252,000. ↩
- סינה אינה יושבת בדיוק על הקו שבו השמש מעל הראש ביום הארוך, ואלכסנדריה אינה בדיוק מצפון לה - ובכל זאת השגיאות ביטלו זו את זו והשיטה עובדת. ↩
- “על מדידת הארץ” אבד; השיטה מוכרת מתיאורו של קלאומדס (המאה ה-1 לספירה), והרון וגלנוס מזכירים את הספר בלי שהחזיקו בו. ↩
- כ-1,700 שנה לפני משלחת מגלן (1519-1522); הניסוי משוחזר בבתי ספר עד היום. ↩